삼각함수·라디안·Atan2로 방향과 각도 구하기

방향에서 각도로, 각도에서 방향으로

노션의 Atan2 기록을 바탕으로 정리했다. 별도로 만들어 둔 삼각함수 장은 본문이 비어 있어, 단위원·경계 처리·실습은 이번 글에서 새로 보완했다. 원문의 Vector2.y처럼 타입에서 성분을 바로 읽는 표기는 실제 벡터 인스턴스 direction.y로 고쳐 읽어야 한다.

이 글의 2D 규약은 x가 오른쪽, y가 위쪽이며 +x에서 반시계 방향으로 각도를 잰다. 반지름 1인 원 위에서 각 $\theta$ 에 해당하는 점은 다음과 같다.

d=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad\cos^2\theta+\sin^2\theta=1

직각삼각형에서는 cos가 빗변 대비 인접변, sin이 빗변 대비 대변의 비다. 단위원은 이를 모든 사분면으로 확장한다. tan은 $\sin\theta/\cos\theta$ 이며 cos가 0인 각에서는 정의되지 않는다.

라디안은 호의 길이를 반지름으로 나눈 값이다

반지름 $r$ 의 원에서 호 길이를 $s$ 라 하면 $\theta=s/r$ 라디안이다. 한 바퀴의 호 길이는 $2\pi r$ 이므로 한 바퀴는 $2\pi$ 라디안, 180도는 $\pi$ 라디안이다.

\theta_{rad}=\theta_{deg}\frac\pi{180},\qquad \theta_{deg}=\theta_{rad}\frac{180}\pi

sin(90)에 90도를 넣었다고 생각하면 단위 오류가 생긴다. 일반적인 수학 API의 sin·cos는 라디안을 받는다. Unity에서는 Mathf.Deg2Rad, Mathf.Rad2Deg로 변환할 수 있다.

방향	도	라디안	단위벡터
오른쪽	0	0	(1, 0)
위	90	$\pi/2$	(0, 1)
왼쪽	180 또는 -180	$\pi$ 또는 $-\pi$	(-1, 0)
아래	-90	$-\pi/2$	(0, -1)

Atan과 Atan2의 차이

atan(y / x)는 비율만 본다. (1, 1)과 (-1, -1)의 비는 모두 1이지만 방향은 반대다. atan2(y, x)는 두 성분의 부호를 따로 받아 사분면까지 판단한다. x=0도 직접 나눗셈 없이 다룬다. 이를 단지 영 나누기 방지 함수라고 설명하면 사분면 정보가 빠진다.

Unity Mathf.Atan2 문서는 인자 순서를 y, x, 반환 단위를 라디안으로 설명한다. 음의 x축에서는 부호 있는 0과 API 규약에 따라 $\pi$ 또는 $-\pi$ 표현이 나올 수 있다. 둘은 같은 방향이다.

영벡터 (0, 0)에는 수학적으로 방향이 없다. API가 숫자를 반환하더라도 게임 로직에서는 이전 방향 유지, 회전 생략 등 정책을 먼저 정한다. 아주 작은 벡터도 입력 노이즈로 보아 제외할 수 있다.

각도 차이는 경계를 넘어 계산한다

현재 각도 179도에서 목표 -179도로 회전할 때 단순 차는 -358도다. 하지만 최단 차는 +2도다. 차이를 $[-180,180)$ 로 접으면 된다. 정확히 180도 차이일 때 어느 쪽으로 도는지는 별도 약속이며 아래 코드는 -180을 선택한다.

여러 바퀴 회전 횟수나 누적 각도가 필요하면 정규화 전 정보를 별도로 보관한다. 방향 하나만 저장해서 지나온 바퀴 수를 복원할 수는 없다.

실행 예제

angles.mjs로 저장하고 node angles.mjs로 실행한다. 화면 회전 대신 순수한 2D 수치 모델을 검사한다.

import assert from 'node:assert/strict';

const deg = rad => rad * 180 / Math.PI;
const rad = degrees => degrees * Math.PI / 180;
const wrap = degrees => ((degrees + 180) % 360 + 360) % 360 - 180;
function heading(x, y) {
  if (!Number.isFinite(x) || !Number.isFinite(y)) throw new RangeError('finite direction required');
  if (Math.hypot(x, y) <= 1e-8) return null;
  return deg(Math.atan2(y, x));
}
const near = (a, b) => assert.ok(Math.abs(a - b) < 1e-10);

near(heading(1, 1), 45);
near(heading(-1, 1), 135);
near(heading(-1, -1), -135);
near(heading(1, -1), -45);
near(heading(0, 1), 90);
assert.equal(heading(0, 0), null);
assert.equal(heading(1e-10, 0), null);
near(wrap(-179 - 179), 2);
near(wrap(179 - (-179)), -2);
assert.equal(wrap(180), -180);
for (let angle = -179; angle <= 179; angle++) {
  const x = Math.cos(rad(angle)), y = Math.sin(rad(angle));
  near(wrap(heading(x, y) - angle), 0);
  near(Math.hypot(x, y), 1);
}
console.log('angles: 359 direction round trips and edge checks passed');

Unity의 XZ 평면에 적용할 때

Unity에서 +z를 전방, +x를 오른쪽으로 삼고 월드 위쪽 y축에 대한 yaw를 계산한다면 식의 성분 이름을 바꿔 읽는다. 같은 좌표계의 목표 변위 d에 대해 Mathf.Atan2(d.x, d.z) * Mathf.Rad2Deg가 +z 기준 각도다. +z는 0도, +x는 90도다. 2D 공식의 인자를 그대로 d.z, d.x로 옮기면 기준 축이 달라진다.

부모 로컬 공간에서 얻은 각도를 월드 회전에 그대로 넣는 오류도 피해야 한다. 관련 예제는 이동 방향과 바라보는 방향에서 이어진다. 모델의 원래 정면이 +z인지, 스프라이트의 정면이 +x인지도 따로 확인한다.

실습

30도를 라디안으로 바꾸고 단위 방향을 구한다.
(-2, 2)와 (2, -2)의 각도를 구한다.
현재 -170도, 목표 170도의 최단 각도 차를 구한다.
목표와 현재 위치가 같은데 Atan2에 그대로 넣어 회전을 바꾸면 어떤 문제가 생길 수 있는가?

풀이

$\pi/6$ 라디안이고 $(\sqrt3/2,1/2)$ 다.
각각 135도, -45도다. 둘의 y/x가 -1로 같아도 사분면이 다르다.
단순 차 340도를 접으면 -20도다.
변위가 영벡터여서 목표 방향이 없다. 임의의 API 결과로 정면이 바뀔 수 있으므로 회전을 유지하는 등의 정책이 필요하다.

확인한 범위

Node.js에서 359개 각도의 방향 왕복, 사분면·수직 방향·영벡터·±180도 경계를 실행했다. Unity의 API 규약은 공식 문서와 대조했으며 실제 Transform·애니메이션 회전과 보간은 실행하지 않았다. 설명·예제 작성과 검사에 AI를 사용했다. 전체 순서는 수학 읽기 순서에 있다.