시간에 따른 포물선 운동과 일정 가속도

노션에 남은 제목에서 계산을 보완한다

노션의 포물선 공식은 제목과 달리 피타고라스 정리와 미완성 삼각함수 항목만 있었다. 아래 운동식 유도·수치 예제·실습은 이번 정리에서 새로 작성했다. 기존 게임에서 투사체 기능을 완성하거나 플레이로 검증한 기록으로 읽지 않는다.

이 글의 모델은 2D이며 x는 수평, y는 위쪽이다. 길이는 m, 시간은 s다. 중력 가속도는 아래쪽으로 일정하고 공기 저항·충돌·회전은 없다. 예제의 $g=10\,m/s^2$ 는 계산을 쉽게 하려고 정한 학습용 값이다.

속도와 가속도에서 위치를 구한다

속도는 위치의 시간 변화율, 가속도는 속도의 시간 변화율이다. 일정한 가속도 a에서 시작 시간 0의 속도가 v0이면

v(t)=v_0+at

이다. 시간 0부터 t까지 속도의 평균은 $(v_0+v(t))/2$ 이므로 위치 변화는 $v_0t+\frac12at^2$ 다. 이를 적분으로도 얻을 수 있다.

p(t)=p_0+v_0t+\frac12at^2

단위를 확인하면 속도 $m/s$ 에 시간 s를 곱한 항과 가속도 $m/s^2$ 에 $s^2$ 를 곱한 항이 모두 m가 된다. 가속도에 deltaTime을 한 번만 곱해 위치에 바로 더하면 단위가 맞지 않는다.

수평과 수직을 나눈다

초기 속력을 s, 발사각을 $\theta$ 라 하면 $v_{0x}=s\cos\theta$ , $v_{0y}=s\sin\theta$ 다. 가속도를 $(0,-g)$ 로 두면

x(t)=x_0+v_{0x}t,\qquad y(t)=y_0+v_{0y}t-\frac12gt^2

다. $v_{0x}\ne0$ 일 때 t를 없애면

y=y_0+\frac{v_{0y}}{v_{0x}}(x-x_0)-\frac{g}{2v_{0x}^2}(x-x_0)^2

가 되어 x에 대한 포물선임을 알 수 있다. 수직으로 쏘면 $v_{0x}=0$ 이므로 이 형태로 나눌 수 없다. 시간 함수 $p(t)$ 는 그 경우에도 사용할 수 있다.

최고점·같은 높이의 비행시간

위쪽 초기 속도가 양수일 때 최고점에서는 $v_y(t)=v_{0y}-gt=0$ 이다.

t_{peak}=v_{0y}/g,\qquad \Delta y_{peak}=v_{0y}^2/(2g)

출발과 같은 높이로 돌아오는 시간은 t=0 이외의 해인 $t_{flight}=2v_{0y}/g$ 다. 수평 도달 거리는 $v_{0x}t_{flight}$ 다. 이 식을 높이가 다른 지면의 충돌 시간으로 그대로 쓰면 안 된다.

예를 들어 p0=(0,0), v0=(6,8), g=10이면 최고점은 0.8초, 추가 높이는 3.2m다. 같은 높이로 돌아오는 시간은 1.6초, 수평 거리는 9.6m다.

목표 높이 $y_g$ 가 다르면 $y_0+v_{0y}t-gt^2/2=y_g$ 의 근을 구한다. 판별식 $v_{0y}^2+2g(y_0-y_g)$ 가 음수이면 그 높이에 도달하지 못한다. 양수면 두 시간이 양수일 수도 있으므로 상승·하강 중 어느 접점을 원하는지 고르고, 음수 시간을 제외한다. 실제 지형 충돌은 선분·스윕·물리 엔진의 별도 문제다.

실행 예제와 Euler 갱신의 차이

다음 .NET 콘솔 코드는 해석식과 explicit Euler를 비교한다. Euler는 각 단계에서 기존 속도로 위치를 먼저 갱신하고 속도에 가속도를 더한다. 속도를 먼저 갱신하는 semi-implicit Euler와 구분한다.

using System;

static (double x, double y) Position(double time)
{
    if (!double.IsFinite(time) || time < 0) throw new ArgumentOutOfRangeException(nameof(time));
    return (6 * time, 8 * time - 0.5 * 10 * time * time);
}
static (double x, double y) ExplicitEuler(double total, int steps)
{
    if (steps <= 0) throw new ArgumentOutOfRangeException(nameof(steps));
    double dt = total / steps;
    double x = 0, y = 0, vx = 6, vy = 8;
    for (int i = 0; i < steps; i++)
    {
        x += vx * dt;
        y += vy * dt;
        vy -= 10 * dt;
    }
    return (x, y);
}
static void Near(double actual, double expected)
{
    if (Math.Abs(actual - expected) > 1e-10) throw new Exception($"expected {expected}, got {actual}");
}

Near(Position(0).x, 0);
Near(Position(0).y, 0);
Near(Position(0.8).y, 3.2);
Near(Position(1.6).y, 0);
Near(Position(1.6).x, 9.6);
Near(Position(0.5).y, 2.75);
Near(ExplicitEuler(1, 10).y - Position(1).y, 0.5);
Near(ExplicitEuler(1, 20).y - Position(1).y, 0.25);
Near(ExplicitEuler(1, 100).y - Position(1).y, 0.05);
for (int i = 0; i <= 100; i++)
{
    double t = i / 100d;
    double h = 1e-4;
    if (t > 0)
    {
        double derivative = (Position(t + h).y - Position(t - h).y) / (2 * h);
        Near(derivative, 8 - 10 * t);
    }
}
Console.WriteLine("projectile: position, peak, flight and Euler checks passed");

일정한 가속도를 쓰는 위 explicit Euler에서 총 시간 T의 높이 오차는 $\frac12gT\Delta t$ 다. 시간 간격을 절반으로 줄이면 이 모델의 오차도 절반이 된다.

매 프레임 누적과 경과 시간

해석식을 쓴다면 시작 위치·초기 속도·시작 이후 경과 시간을 보관해 매번 Position(elapsed)를 평가할 수 있다. 현재 위치를 새 시작점으로 쓰면서 전체 elapsed를 다시 넣으면 이동량을 중복 적용한다.

일정 가속도에서 현재 상태로 한 단계씩 갱신하려면 $p_{next}=p+v\Delta t+\frac12a\Delta t^2$ , $v_{next}=v+a\Delta t$ 로 일관되게 갱신할 수 있다. 그러나 충돌과 힘이 바뀌는 실제 물리 시스템을 이 공식 하나로 대체할 수는 없다. Rigidbody를 쓰는 경우에는 물리 엔진의 갱신 방식과 힘의 소유권을 확인해야 한다.

실습

초기 수직 속도 12m/s, g=10에서 최고점 시간과 추가 높이를 구한다.
수평 속도 5m/s로 같은 높이에 착지하면 비행시간과 수평 거리는 얼마인가?
예제의 explicit Euler에서 T=1초, dt=0.02초인 높이 오차를 구한다.
y0=0, 초기 수직 속도 8m/s에서 목표 높이 4m에 도달할 수 있는가?

풀이

$12/10=1.2$ 초, $12^2/20=7.2$ m다.
$2\cdot12/10=2.4$ 초, $5\cdot2.4=12$ m다.
$0.5\cdot10\cdot1\cdot0.02=0.1$ m다. 이 explicit Euler 예제는 낙하 가속도를 위치에 한 단계 늦게 반영하므로 해석식보다 높다.
최고 높이가 3.2m여서 불가능하다. 판별식도 $8^2-2\cdot10\cdot4=-16$ 으로 음수다.

확인한 범위

.NET 콘솔에서 위치·최고점·같은 높이의 비행시간, 세 시간 간격의 Euler 오차와 위치 미분을 검사했다. Unity 물리·Rigidbody·충돌·프레임 의존성·실제 투사체 궤적 화면은 실행하지 않았다. 원문에 없던 유도와 예제는 신규 보완이며 AI를 사용해 작성·검사했다. 관련 기초는 삼각함수·Atan2, 전체 순서는 수학 읽기 순서에 있다.