쿼터니언의 축·각과 회전 합성 순서

네 성분을 각도 네 개로 읽지 않는다

노션의 벡터 수학 뒤에 있던 쿼터니언 메모를 분리해 보완했다. 원문은 Euler 표현과 쿼터니언 사용법을 짧게 다룬다. 아래 수식 유도, 입력 검사, 실행 예제와 실습은 이번에 새로 작성했다. 특정 프로젝트의 회전 버그를 재현·해결한 기록은 아니다.

Euler 각은 세 축의 회전을 정해진 순서로 표현한다. 같은 최종 방향을 서로 다른 숫자로 나타낼 수 있고, 순서도 결과에 영향을 준다. 쿼터니언 $q=(x,y,z,w)$ 의 네 성분은 Euler 각 네 개가 아니다. Unity의 new Quaternion(x, y, z, w)에 원하는 Euler 각을 직접 넣으면 안 된다.

회전에는 길이 1인 단위 쿼터니언을 사용한다. 성분 네 개에 조건 하나가 있으므로 회전의 자유도가 네 개로 늘어나는 것은 아니다.

축·각에서 반각을 사용하는 표현

단위 회전축 $u=(u_x,u_y,u_z)$ 와 각 $\theta$ 에 대한 회전은 다음과 같이 표현한다.

q=\left(u_x\sin\frac\theta2,\ u_y\sin\frac\theta2,\ u_z\sin\frac\theta2,\ \cos\frac\theta2\right)

축 길이는 반드시 1이어야 한다. 네 성분의 길이 제곱은 $\sin^2(\theta/2)+\cos^2(\theta/2)=1$ 이다. 회전이 없는 항등 쿼터니언은 (0, 0, 0, 1)이다. 영 쿼터니언 (0, 0, 0, 0)은 회전이 아니다.

예를 들어 +z축 90도 회전은 $(0,0,\sqrt2/2,\sqrt2/2)$ 다. 아래 실행 모델은 오른손 회전 규약으로 +x를 +y로 보낸다. 엔진에서 적용할 때는 축 방향·좌표계·API의 인자 단위를 함께 확인한다.

벡터 회전과 곱셈

벡터 v를 순허수 쿼터니언 $(v_x,v_y,v_z,0)$ 로 놓으면 회전은 $qvq^{-1}$ 로 쓸 수 있다. 단위 q의 역원은 켤레 $q^{-1}=(-x,-y,-z,w)$ 다.

반각이 등장하는 이유를 z축 회전으로 확인할 수 있다. $q=(0,0,s,c)$ 에서 $s=\sin(\theta/2)$ , $c=\cos(\theta/2)$ 라 하면 (1,0,0)을 회전한 결과는 $(c^2-s^2,2sc,0)=(\cos\theta,\sin\theta,0)$ 이다. 양쪽에서 곱하는 표현이 반각을 실제 회전각으로 연결한다.

쿼터니언 곱셈은 행렬을 반드시 만들어야 가능한 연산이 아니다. 벡터부 a, b와 실수부 s, t를 쓰면 다음의 직접 계산이다.

(a,s)(b,t)=(sb+ta+a\times b,\ st-a\cdot b)

내적은 벡터 글에서, 외적의 순서도 같은 글에서 확인할 수 있다. $a\times b$ 의 부호 때문에 일반적으로 곱셈은 교환되지 않는다.

합성은 실제 벡터에 적용해 확인한다

이 글의 $qvq^{-1}$ 규약에서 $(q_2q_1)v(q_2q_1)^{-1}$ 는 q1을 먼저, q2를 다음에 적용한다. 곱의 역원 순서가 뒤집히기 때문이다.

(q_2q_1)v(q_1^{-1}q_2^{-1}) =q_2(q_1vq_1^{-1})q_2^{-1}

Unity의 곱셈 문서도 원래 기준 좌표계에 대한 lhs * rhs를 벡터에 적용하면 rhs를 먼저, lhs를 다음에 적용한다고 설명한다. 로컬 축을 회전시킨 뒤 그 새 축을 기준으로 돌린다는 서술과 혼동하지 않도록, 비교할 때는 원래 기준 축을 고정한다.

아래 .NET 예제는 호출 순서를 명확히 드러내기 위해 Quaternion.Concatenate를 사용한다. Concatenate(first, second)는 first 후 second다. Unity와 함수 이름·단위를 같다고 간주해서 코드를 복사하면 안 된다. Unity의 AngleAxis는 도 단위이고 아래 CreateFromAxisAngle은 라디안을 받는다.

실행 예제

.NET SDK의 콘솔 프로젝트에서 Program.cs를 다음으로 바꿔 dotnet run을 실행한다. 순수 수치 모델이며 Unity 어셈블리는 필요 없다.

using System;
using System.Numerics;

static Quaternion AxisAngle(Vector3 axis, float degrees)
{
    if (!float.IsFinite(degrees)
        || !float.IsFinite(axis.X) || !float.IsFinite(axis.Y) || !float.IsFinite(axis.Z)
        || axis.LengthSquared() <= 1e-12f || !float.IsFinite(axis.LengthSquared()))
        throw new ArgumentException("finite nonzero axis required");
    return Quaternion.CreateFromAxisAngle(Vector3.Normalize(axis), degrees * MathF.PI / 180f);
}

static Quaternion Unit(Quaternion q)
{
    float lengthSquared = q.LengthSquared();
    if (!float.IsFinite(lengthSquared) || lengthSquared <= 1e-12f)
        throw new ArgumentException("finite nonzero quaternion required");
    return Quaternion.Normalize(q);
}

static void Near(Vector3 actual, Vector3 expected)
{
    if (Vector3.Distance(actual, expected) > 1e-5f)
        throw new Exception($"expected {expected}, got {actual}");
}

Quaternion x = AxisAngle(Vector3.UnitX, 90);
Quaternion y = AxisAngle(Vector3.UnitY, 90);
Quaternion z = AxisAngle(Vector3.UnitZ, 90);
Near(Vector3.Transform(Vector3.UnitX, z), Vector3.UnitY);

Quaternion firstXThenY = Unit(Quaternion.Concatenate(x, y));
Quaternion firstYThenX = Unit(Quaternion.Concatenate(y, x));
Near(Vector3.Transform(Vector3.UnitZ, firstXThenY), -Vector3.UnitY);
Near(Vector3.Transform(Vector3.UnitZ, firstYThenX), Vector3.UnitX);
Near(Vector3.Transform(Vector3.Transform(Vector3.UnitZ, x), y),
     Vector3.Transform(Vector3.UnitZ, firstXThenY));

Quaternion negative = new(-z.X, -z.Y, -z.Z, -z.W);
Near(Vector3.Transform(Vector3.UnitX, z), Vector3.Transform(Vector3.UnitX, negative));
for (int angle = -180; angle <= 180; angle += 5)
{
    Quaternion q = AxisAngle(new Vector3(1, 2, 3), angle);
    Vector3 p = new(2, -1, 4);
    Vector3 rotated = Vector3.Transform(p, q);
    Near(Vector3.Transform(rotated, Quaternion.Inverse(q)), p);
    if (MathF.Abs(rotated.Length() - p.Length()) > 1e-5f) throw new Exception("length changed");
}
bool rejected = false;
try { Unit(new Quaternion(0, 0, 0, 0)); }
catch (ArgumentException) { rejected = true; }
if (!rejected) throw new Exception("zero quaternion accepted");
Console.WriteLine("quaternion: order, inverse, sign and length checks passed");

q와 -q, 보간과 Euler 표시

$q$ 와 $-q$ 는 같은 3D 회전을 나타낸다. $(-q)v(-q)^{-1}$ 에서 두 음수가 상쇄된다. 성분이 다른데 실제 방향은 같을 수 있으므로 네 성분의 정확한 일치만으로 회전의 동등성을 판정하지 않는다. 단위 q1, q2의 내적 절댓값이 1에 가까운지 보는 방법이 있다.

단순히 성분 평균을 내면 q와 -q의 중간값이 영 쿼터니언이 될 수 있다. 보간 경로를 정하고 필요하면 한쪽 부호를 바꾸며 단위 길이를 유지해야 한다. Slerp 등의 실제 API를 사용해도 입력·회전 속도·시간 처리 정책은 확인해야 한다. 이 글은 애니메이션 보간 실험을 수행하지 않았다.

Euler 숫자 하나가 경계에서 크게 바뀌어도 실제 회전은 조금 변했을 수 있다. 반대로 Euler 각을 세 축에 더하는 것과 쿼터니언 곱셈은 같은 연산이 아니다. 결과는 기준 방향 벡터 몇 개를 돌려 비교하는 편이 명확하다.

실습

항등 쿼터니언이 (0,0,0,0)이 아닌 이유를 설명한다.
단위 q의 역원을 적고 q와 곱하면 무엇이 되는지 설명한다.
같은 기준 축에서 x축 90도 후 y축 90도를 적용한 +z 방향을 예제와 비교한다. 순서를 바꾸면 어떻게 되는가?
q와 -q의 성분 평균이 회전 보간으로 부적절할 수 있는 이유를 설명한다.

풀이

회전에는 길이 1이 필요하다. 항등은 벡터부 0, 실수부 1이고 영 쿼터니언은 역원이 없다.
$(-x,-y,-z,w)$ 다. 단위 q와 곱하면 (0,0,0,1)이다.
예제의 오른손 규약에서 +z는 x 회전으로 -y가 되고 y축 회전에서 그대로여서 -y다. 순서를 바꾸면 +z → +x → +x다.
평균이 영 쿼터니언이 된다. 같은 회전을 나타내는 표현의 부호를 맞추지 않은 채 성분만 섞었기 때문이다.

확인한 범위

.NET의 System.Numerics로 합성 순서, 부호 동등성, 73개 각도의 길이 보존·역회전과 영 쿼터니언 거부를 실행했다. Unity의 부모 Transform·Euler 변환·Inspector 표시·Slerp는 실행 검증하지 않았다. 극단적인 수치 범위의 정규화는 예제 범위 밖이다. 원문 대조와 설명·코드 작성·검사에 AI를 사용했다. 수학 읽기 순서에서 앞뒤 글을 연결한다.