함수·합성·역함수와 되돌릴 수 없는 계산

함수는 입력과 출력의 약속을 포함한다

노션의 함수, 합성함수, 항등함수와 역함수를 묶어 다시 썼다. 『이득우의 게임수학』 독서 기록을 바탕으로 하며, 아래 체력·변환 예제와 실습은 새로 작성했다.

함수 $f:A\to B$ 는 정의역 $A$ 의 각 원소에 정확히 하나의 출력을 대응시킨다. 공역 $B$ 는 출력이 속하기로 정한 집합이다. 실제로 도달하는 출력 집합 $f(A)$ 를 치역이라고 한다.

예를 들어 $f(x)=x^2$ 를 실수에서 실수로 정의하면 정의역과 공역은 모두 $\mathbb R$ 이고 치역은 $[0,\infty)$ 다. 같은 식을 써도 공역을 $[0,\infty)$ 로 정하면 전사 여부가 달라진다.

성질	뜻	예
단사	다른 입력은 다른 출력으로 간다	$f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=2x+1$
전사	공역의 모든 원소에 도달한다	$f:\mathbb R\to[0,\infty)$ , $f(x)=x^2$
전단사	단사이면서 전사다	실수 전체에서 $2x+1$

Clamp(hp, 0, 100)은 여러 입력을 0이나 100으로 모은다. 입력이 -20인지 -1인지 출력 0만 보고 구분할 수 없다. 따라서 실수 입력 전체에서 단사가 아니다.

합성은 오른쪽 함수부터 적용한다

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$ 다. $f$ 의 출력이 $g$ 의 정의역에 들어가야 합성을 정의할 수 있다.

이동 $T(x)=x+3$ 과 배율 $S(x)=2x$ 를 합성해 보자.

(S\circ T)(x)=2(x+3)=2x+6

(T\circ S)(x)=2x+3

합성은 보통 교환되지 않는다. 반면 함수의 정의역·공역이 맞으면 $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$ 다. 이는 함수의 결합법칙이다. 부동소수점 구현에서 식의 계산 순서를 바꾸며 반올림까지 같다고 주장하는 것과는 구분한다.

역함수는 입력을 유일하게 복원한다

항등함수는 $I_A(x)=x$ 다. $f:A\to B$ 의 양방향 역함수 $f^{-1}:B\to A$ 가 존재하려면 전단사여야 한다.

f^{-1}(f(x))=x,\qquad f(f^{-1}(y))=y

$f(x)=ax+b$ 이고 $a\ne0$ 이면 $f^{-1}(y)=(y-b)/a$ 다. $a=0$ 이면 모든 입력을 같은 값으로 보내므로 복원할 수 없다. 단사 함수는 공역을 치역으로 좁히면 그 치역 위에서 역함수를 가질 수 있다.

합성의 역함수는 순서를 뒤집는다.

(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}

예를 들어 이동 후 배율을 적용했다면 복원할 때 배율을 먼저 되돌리고 이동을 되돌린다. 이 순서는 행렬 변환에서도 이어진다.

두 입력도 하나의 순서쌍으로 볼 수 있다

노션의 곱집합과 좌표 평면을 함께 정리한다. $A\times B$ 는 $(a,b)$ 순서쌍의 집합이다. 일반적으로 $(a,b)$ 와 $(b,a)$ 는 다르다. 곱집합 자체가 두 집합을 실제로 수직 배치하라는 조건을 갖는 것은 아니다. $\mathbb R\times\mathbb R$ 를 좌표 평면으로 나타낼 때 직교하는 두 축을 선택할 수 있다.

덧셈은 $+:\mathbb R^2\to\mathbb R$ 로 볼 수 있다. (2, 3)을 받아 5를 돌려준다. (1, 4)도 5를 돌려주므로 출력만으로 두 입력을 모두 복원할 수 없다.

실행 예제

전체 코드를 functions.mjs로 저장하고 node functions.mjs로 실행한다. 함수 합성과 입력 복원 여부를 직접 검사한다.

import assert from 'node:assert/strict';

const compose = (g, f) => x => g(f(x));
const translate = x => x + 3;
const scale = x => 2 * x;
const undoTranslate = y => y - 3;
const undoScale = y => y / 2;
const forward = compose(scale, translate);
const backward = compose(undoTranslate, undoScale);
const clampHp = x => Math.max(0, Math.min(100, x));

assert.equal(forward(4), 14);
assert.equal(compose(translate, scale)(4), 11);
for (const x of [-10, -0.5, 0, 4, 20]) {
  assert.equal(backward(forward(x)), x);
}
assert.equal(clampHp(-20), 0);
assert.equal(clampHp(-1), 0);
assert.equal(clampHp(120), 100);
assert.equal(clampHp(1000), 100);
assert.equal(Math.round(1.1), Math.round(1.4));

function affineInverse(a, b) {
  if (!Number.isFinite(a) || !Number.isFinite(b) || a === 0)
    throw new RangeError('finite nonzero slope required');
  return y => (y - b) / a;
}
assert.equal(affineInverse(2, 6)(14), 4);
assert.throws(() => affineInverse(0, 3), RangeError);
console.log('functions: all checks passed');

Clamp나 반올림을 포함한 처리를 되돌리려면 변경 전 값이나 작업 이력을 따로 보존하는 설계가 필요하다.

실습

$f(x)=3x-2$ 의 역함수를 구하고 $x=5$ 로 왕복을 확인한다.
$f(x)=x^2$ 가 실수 전체에서 단사가 아닌 반례를 든다. 정의역과 공역을 어떻게 줄이면 역함수 $\sqrt{x}$ 를 둘 수 있는가?
배율 2 → 이동 3 순서의 변환을 되돌리는 수식과 순서를 적는다.
체력을 0~100으로 Clamp한 결과 100을 받았다. 원래 체력이 정확히 100이었다고 말할 수 있는가?

풀이

$y=3x-2$ 를 풀면 $x=(y+2)/3$ 다. $f(5)=13$ , $(13+2)/3=5$ 다.
$f(2)=f(-2)=4$ 다. $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ 로 제한하면 전단사이며 역함수는 음이 아닌 제곱근이다.
$y=2x+3$ 이므로 $x=(y-3)/2$ 다. 이동을 먼저 취소하고 배율을 취소한다.
아니다. 입력 100, 120, 1000이 모두 같은 출력으로 간다. 원래 값을 보존하려면 Clamp 전 값을 따로 저장해야 한다.

확인한 범위

Node.js에서 합성 순서, 다섯 입력의 왕복, Clamp·반올림의 입력 충돌과 0 기울기 거부를 실행했다. 게임의 Undo나 세이브 시스템을 구현·검증한 기록은 아니다. 설명과 실행 예제 작성·검사에 AI를 사용했다.

다음은 벡터 공간과 기저다. 전체 글은 수학 읽기 순서에서 연결한다.